Appearance
数量规律
“数量规律”图形特征
（1）元素组成不同，且属性没规律
（2）数量特征图明显
考点
点、线、角、面、素
考点一：面数量
1.什么是面？白色的封闭区域
图1外面有白色的封闭区域，有1个面；图2的线条没有封闭起来，有0个面；面是白色的封闭区域，只有中间的三角形封闭区域是一个面，黑色的部分不是面，所以图3有1个面。
面是白的，黑的不是面！
2.什么时候数面？
（1）图形被分割、封闭面明显
①图形被分割。图1的外面有一个边框，里面用线将其分割成不同面，此时可以优先考虑数面。
②封闭面明显：图2里面都是窟窿，都是面，此时叫作封闭面明显，可以数面。
（2）生活化图形、粗线条图形
如图1像“齿轮”，图2像“火车头”或“直升飞机”，为生活化图形，且图形里面出现一团团黑色，为粗线条图形；遇到这种生活化、粗线条图形可以优先数面。图1的白色部分是面，所以有1个面；图2有5个面。
生活化图形可以考查开闭性和面数量。
【例1】（2023重庆选调）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】1.观察图形特征，每个图不一样，元素组成不相同，优先考虑属性规律。图1不对称，不能考虑对称性；图1、2为全直线图形，图3为有曲有直图形，所以曲直性无规律；题干和选项均为全封闭图形，所以开闭性虽然有规律但是无答案，属性没有规律，考虑数量规律。出现窟窿和面，考虑面数量。
题干图形面数量均为5个，则“？”处图形的面数量为5个。
A项：有3个面，排除。
B项：有5个面，当选。
C项：有4个面，排除。
D项：有4个面，排除。【选B】
【注意】
1.图形特征：元素组成不同——优先属性。
2.图形特征：封闭面明显——优先数面。
3.思考规律的先后：当拿到一道题目发现图形的封闭面均特别明显、都是窟窿、都是面，此时可以不优先考虑属性规律，可以优先数面；当遇到难题没有思路的时候，可以优先考虑属性规律再考虑数量规律。
面的细化考法
【注意】面的细化考法：直接数面的题目比较简单，考查较少，目前考试较流行的考法是以下三种。如果整体数面无答案，考虑面的细化，共有三个角度。
1.所有面的形状（三角形、四边形）
观察图形里面是否有三角形/四边形面，如果有，观察有几个。如图，图1有3个面，均为三角形的面；图2有3个面，其中有2个三角形的面；图3中没有三角形的面（0个）。
2.相同面的数量（“双胞胎”“多胞胎”）
相同面指的是面的形状和大小一模一样，即“双胞胎”“多胞胎”面。如图，如图1中有2个长得一模一样的面（直角三角形），图2有2个长得一模一样的面（三角形）；图3中有5个面长得一模一样。
3.最大/最小面的形状、属性（对称、曲直）、与外框的关系（相似、边相等）
找最大面/最小面的时候，最先找最大面，因为最大面比较直观且考查多；如果最大面有规律继续看，如果最大面无规律再看最小面。
（1）形状：最大面是几边形。如图，图1中最大面是三角形，图2最大面是四边形（有4条边）。
（2）属性：主要看对称和曲直，因为面是封闭的，不用看开闭性。
①对称性。如图，图1最大面是等腰三角形，最大面为轴对称图形；图2最大面是平行四边形，最大面为中心对称图形，图3最大面是圆（有横轴、竖轴和垂直的对称轴），最大面为轴对称+中心对称图形。
②曲直性。如图，图1和图2最大面是由直线组成的，图3最大面是由曲线围成的。
（3）与外框关系：主要看最大/最小面与外框是否相似、与外框边的数量是否相等。如图，图1最大面是三角形，外框是四边形，那么最大面和外框不相似，外框边数也不相等；图2最大面是平行四边形，外框是正方形，最大面与外框不相似，但是与外框边数量相等；图3最大面和外框均为圆，即最大面和外框相似。
在国考和省考中简单题不多，大多数题目都比较难，如2025年国考考查最大面都是轴对称图形，所以以上的知识必须会。如果觉得学习的知识太多、记不住，就把这些知识抄下来，每天背一下，在考试的时候这些考点不是临时想到的，都是背下来的。如果把上述知识都背下来，也不一定全部题目都能做出来，在考试中90%的题目会做出来，另外10题中有1题大约为创新题。目前是打基础的阶段，只要把基础考法学会了，就学会了90%，就够用了。
【例2】（2021浙江）
从所给的四个选项中，去掉哪一个后，剩下的图形序列可以呈现一定的规律性？
【解析】2.问“从所给的四个选项中，去掉哪一个后，剩下的图形序列可以呈现一定的规律性”，注意问法。做题思维一样，图1的外框是一个正方形，里面用线分割成不同的面，即图形被分割，封闭面明显，优先数面。题干和选项的面数量都是3个，没有办法做题，考虑面的细化，第一个先看所有面（里面是否有三角形面）、第二个看是否有长得一样的面，第三个看最大/最小面。
图1有2个三角形面；图2有2个三角形面；A项中有2个三角形面；B项中有3个三角形面；C项中有2个三角形面；D项中有2个三角形面，根据三角形的面数量去掉B项（3个），其余的图形中三角形的数量均为2个，B项当选。
这种题目近几年考查得很多，国考也会考查。【选B】
【注意】
1.图形被分割、封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有、相同、最大/最小。
所有面—重点关注三角形、四边形
（2019北京）
题干图形外边框被分成不同的面，可以考虑数面。第一组图均为4个面，第二组图均为5个，但是四个选项的图形均为5个面。虽然数面有规律，但是选不到答案，此时可以观察三角形/四边形的数量，第一组图中的4个面都是三角形的面，第二组图的5个面全部都是四边形的面；A、B、C项中的图形均有三角形，均排除；D项中5个面都是四边形，选择D项。
（2022国考）
题干图形外部为正方形，里面用线将其分割成面，封闭面特征明显，优先数面。题干图形均为7个面，没有办法分组，考虑三角形的面，图①③⑥为一组，均有4个三角形的面；图②④⑤为一组，均有3个三角形的面。
一般关注三角形的面就可以，四边形的面考查少，如果一道题三角形的面没有规律，此时可以考虑四边形的面，另外如果一道题中没有三角形的面，一般也不会考查四边形的面，所以在做题的时候重点观察是否有三角形的面。
按照以下顺序进行验证，先看三角形的面，再看相同面，再看最大/最小面。
【例3】（2024事业单位）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】3.观察图形特征，出现窟窿和面，考虑数面。题干图形面数量依次为5、4、4、3、3、？，面数量无规律，从三个角度思考。
第一个看所有面里是否有三角形的面，图1、2、3有三角形的面，但是图4、5没有三角形的面，所以三角形的面无规律。第二个看图形里面是否有长得一模一样的面，图1有2个直角三角形长得一模一样，图2有2个圆长得一模一样，图3有两个三角形长得一模一样，图4中有两个圆长得一模一样，图5中上面2个六边形的形状和大小长得一样，但是下面的图虽然也是六边形，但是和上面的图不一样，有些“瘪”，所以图5有2个面长得一模一样，则“？”处图形应该有2个相同面。
A项：没有相同面，排除。
B项：左边和右边的面长得一样，有2个相同面，保留。
C项：没有相同面，排除。 D项：没有相同面，排除。【选B】
【注意】
1.封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有、相同、最大/最小。
相同面——关注形状大小都一样的面
（2020新疆）
本道题很看细节，图形里面都是面，优先考虑数面。图①有4个面，其余图形面数量均大于4，所以数面没有规律；图①没有三角形的面，所以三角形的面没有规律；看相同面，图①中有4个相同面，图②有6个相同面，图③有6个面长得一样（最下面的面是六边形，其余的图形为五边形），图④有6个面长得一样，图⑤中有4个圆长得一样，图⑥中有4个长方形长得一样，即图①⑤⑥为一组，有4个相同面；图②③④为一组，有6个相同面。
（2022北京）
题干图形外面为一个边框，里面由线分割成不同个面，优先考虑数面。题干图形面数量均为4个，无答案，考虑面的细化。题干图形中没有三角形的面，考虑相同面，图1中有2个长方形长得一样，图2中有2个三角形长得一样，图3中有2个“鞋子”形状的图形长得一样，图4中有2个“L”形状的图形长得一样，图5中有2个相同面，即题干图形均有2个相同面，则“？”处图形应该有2个相同面，B项当选。
相同面指的是形状、大小、面积都一模一样。如例3中的C项中的2个三角形长得不一样，一定要是大小和面积都一样的才是相同面。
【例4】（2024联考）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③④，②⑤⑥
B.①③⑤，②④⑥
C.①⑤⑥，②③④
D.①④⑥，②③⑤
【解析】
4.观察图形特征，题干图形外框为正方面，内部用线将正方形分成不同面，所以优先考虑数面。图①②③④均为5个面，当数到第4个面的时候就不用再数了，因为无法分成两组，整体数面无规律，可以考虑面的细化（三角形的面、相同面和最大/最小面）。
图①中没有三角形面、没有相同面、有最大面（“Z”字形），当遇到平行四边形、“S、N、Z”变形、相同图形反着放要考虑中心对称，所以图①的最大面为中心对称图形；图②最大面为轴对称图形；图③最大面为轴对称图形，图④最大面为轴对称图形；图⑤最大面（“Z”字形）为中心对称图形；图⑥最大面为平行四边形，为中心对称图形。
故图①⑤⑥为一组，最大面为中心对称图形；图②③④为一组，最大面为轴对称图形，C项当选。【选C】
【注意】
1.图形被分割、封闭面明显——优先数面。
2.面的细化——所有、相同、最大/最小（几边形、属性、与外框关系）。
3.一个图形是否有三角形面、相同面、最大/最小面都很快能做好，只要把老师告诉的特征记熟练了做题就会快了，最怕做题的时候记不住老师所讲的图形特征和考点。
【2024浙江】最大面边数
考查最大面边数。题干图形都有面，但是数面无规律，图5中没有三角形面，题干图形也没有一样的面，考虑最大/最小面，最大面依次为三边形、四边形、五边形、六边形、七边形，则“？”处图形最大面应为八变形，选择B项。
【2024联考】最大面轴对称/中心对称
题干图形均有5个面，选不出唯一答案，图1没有三角形面、相同面，但是有最大面，最大面为中心对称图形，故图①⑤⑥为一组，最大面为中心对称图形，图②③④为一组，最大面为轴对称图形。
【2023联考】最小面与外框相似
最小面与外框相似。题干图形均有面，但是整体数面没有规律，图2中没有三角形面，图1没有相同面，所以关注最大面/最小面。图1有最大面，但是图2有两个一模一样的面，没有最大面，最大面指的是最大的、唯一的面，此时看最小面。题干图形最小面的形状依次为三角形、四边形、三角形、四边形、四边形，最小面形状无规律，另外图4和图5最小面为直角梯形，不对称，所以对称性无规律，此时考虑最小面与外框形状关系，题干图形的最小面均与外框相似，C项当选。
【2022联考】最大面边数与外框相等
题干图形数面特征明显，优先考虑数面，数面无规律；题干图形虽然有三角形的面，但是三角形的面数量依次为2、4、3……，三角形面数量无规律，另外图1中无相同面，看最大/最小面。最大面的形状依次为四边形、三角形、四边形、五边形、三角形，故最大面的形状无规律，考虑最大面的对称性，图1的最大面不是对称的，对称性无规律，考虑最大面与外框关系。图1最大面和外框均为四边形，图2最大面和外框均为三角形，图3最大面和外框均为四边形，图4最大面和外框均为五边形，图5最大面和外框均为三角形，即题干图形最大面和外框边数相同，C项当选。
这些考点较难，只要把这四个考点背下来，考试的时候就能想到，图形最难的就是没有见过，课下要多抄多背，有的同学笔记记得很详细，考高分的概率就大。
数面特征明显、整体数面无规律——考虑细化考法
1.所有面的形状
2.相同面的数量
3.最大/最小面的形状、属性（对称、曲直）、与外框的关系（相似、边相等）
考点二：线数量
1.什么是线？
直线
曲线
2.什么时候数线？
直线特征图：多边形、单一直线
图1的正方形是独立的多边形；图2和图3均有单一直线。
曲线特征图：曲线图形（圆、弧、单一曲线）
图3左右均是独立存在的圆，均是单一曲线。
【例1】（2022湖北选调）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】
1.题干出现多边形，考虑数直线；题干的图2和图4均有独立存在的圆，有单一曲线，考虑数曲线，哪个有规律用哪个。直线数依次为8、12、7，无规律；曲线数依次为0、1、2、3，故“？”处有4条曲线。
A项：没有曲线，排除。
B项：一个圆就是平滑的1条曲线，排除。
C项：有4条曲线，当选。
D项：两个圆有2条曲线，排除。
答疑：线指的是细的线条，A项中间没有细的线条，没有线。【选C】
【注意】
1.图形特征：单一曲线——优先数曲线。
2.一道题目既有数直线和数曲线的特征，优先考虑数曲线（考查较多），数直线的题目考查较少。
【例2】（2023事业单位）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】2.题干的图1出现单一直线、多边形，考虑数直线，题干图形的直线数均为5，故“？”处有5条直线。
A项：有5条直线，保留。
B项：有6条直线，排除。
C、D项：有7条直线，均排除。【选A】
【注意】
1.图形特征：单一直线、多边形——优先数直线。
2.听课听得懂，但做题不会是因为解题思路没有跟上，最难的是需要背下来图形特征，这样就知道考虑什么考点。
（2024四川）
每幅图均分内外，内外均出现独立的多边形，考虑数直线，内外边数量依次为6、4、3、7、5，内外边数量相等，四个选项的外部边数量均是六边形，找内部是六边形的选项，D项内部是六边形，内外都是6条边，当选。
（2022联考）
每幅图均由2个图形组成，考虑内外分开看；每幅图均有多边形，考虑多边形有几条边。第一组图，黑色边数依次为6、4、3，白色边数依次为5、4、4，相加无规律，考虑相减，黑色-白色边数依次为1、0、-1，规律为等差数列；第二组图，黑色-白色边数依次为1、0，故“？”处黑色-白色边数为-1，即黑色比白色少1条边，A项当选。
【例3】（2019浙江）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③④，②⑤⑥
B.①③⑥，②④⑤
C.①②③，④⑤⑥
D.①④⑤，②③⑥
【解析】
3.除了图②（只有直线）外，其余图形均有曲有直，考虑数曲线、直线，单独数可以做出来，则直接做；单独数做不出来，则考虑做运算。图形有直有曲，优先数曲线（考查较多），曲线数依次为1、1、2、1、2、3，无规律；考虑数直线，直线数依次为2、0、3、2、1、2，无规律，考虑做运算。
因此，图①③④为一组，曲线比直线均少1；图②⑤⑥为一组，曲线比直线均多1，A项当选。
答疑：
（1）数面很少有曲线图，大多数都是直线。
（2）图③没有外框，无法区分内外。【选A】
【注意】图形特征：大多数图都有曲有直——数曲线、直线，可能做运算。
线的特殊考点：笔画数
1.什么是一笔画？在不能重复的情况下，能够一笔画成
2.怎么判断一笔画？
（1）线条之间连通
（2）奇点数量为0或2
（奇点：以一个点为中心，发射出奇数条线）
端点也是奇点，不要忘记数！
多笔画
笔画数=奇点数/2（奇点数一定是偶数个）
（1）如图一，红点都是端点，都是奇点；2个蓝点分别发射3条线，分别是奇点，共有4个奇点，超过2个奇点，4÷2=2，为两笔画图形。
（2）奇点数只能是偶数个，不可能是奇数个。如果数出5个奇点，5÷2=2.5，不可能有这种情况。
2.图形不连通，需要看成两个图，分开计算笔画数。如图二，内部有4个奇点，为两笔画；外部是一个圆，为一笔画，相加共三笔画。
笔画数常见特征图
（五角星、“日”、“田”、圆相切/相交及变形图、多端点）
【注意】笔画数常见特征图： 1.五角星。
2.“日”“田”字及其变形图：
（1）“日”字变形：外框可以变形为长方形、正方形、三角形、有直有曲的、弧线，本质是内部1条线+1个外框。如图一，均是“日”字变形，一笔画图形。
（2）“田”字变形：1个外框（可以是曲线、三角形）+内部1个“十”字。如图二，为“田”字变形。
3.圆相切/相交及其变形图：圆相切或套圈。只要是封闭图形套圈（如2个正方形）或用点连着即可。
4.多端点：出头端点。笔画数中至少有50%的题目都会出现多端点。
【例5】（2025国考）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②④，③⑤⑥
B.①③④，②⑤⑥
C.①②⑤，③④⑥
D.①④⑤，②③⑥
【解析】5.图①出现相切，图②内部“十”字，外部是边框，“田”字变形，图③右上角是“日”字变形，优先考虑笔画数，数奇点。图①有0个奇点；图②有4个奇点；图③有2个奇点（左下角的点发射出5条线）；图④有0个奇点；图⑤有4个奇点（均发射出5条线）；图⑥有4个奇点（均发射出5条线）。
因此，图①③④为一组，均是一笔画图形；图②⑤⑥为一组，均是两笔画图形，B项当选。【选B】
【注意】
1.图形特征：圆相切、“日”“田”变形——优先笔画数。
2.去框法数笔画：
（1）如图一，内部1条线，是一笔画，加上1个外边框，仍为一笔画。
（2）如图二，去掉外边框，内部的“×”是两笔画，整体为两笔画。
（3）如图三，去掉外框，内部类似倒着的“8”，为一笔画，整体为一笔画。
（4）如图四，去掉外框，内部的“×”是两笔画，整体为两笔画。
【例6】（2023国考）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①③⑤，②④⑥
B.①④⑥，②③⑤
C.①③④，②⑤⑥
D.①②④，③⑤⑥
【解析】6.图③⑥均有出头端点，图①②均为“日”字变形（外框+内部1条线），考虑笔画数。图①②均有2个奇点，一笔画；图③⑤有4个奇点，两笔画；图④有2个奇点，一笔画；图⑥有2个奇点，内外分别是一笔画，共两笔画。
因此，图①②④为一组，均是一笔画图形；图③⑤⑥为一组，均是两笔画图形，D项当选。【选D】
【注意】
1.图形共考查10道题，笔画数可能在倒数1/2/3道题中考查。
2.图形特征：“日”字变形、多端点——优先笔画数。
【2023国考1】
【2023联考】
【2023北京】
【2023国考2】
【2022国考】
【2022联考】
【注意】
1.一道题有2-3幅图有端点，考虑笔画数。
2.“日”字和“田”字变形，考虑笔画数。如2022年国考，图①是“日”字变形，图⑥是“田”字变形。
3.面与面之间用点连接，考虑笔画数。如2022年联考，图①用1个点连接2个三角形；如2022年国考，图④用1个点连接三角形；如2023年国考2，图⑥右下角用1个点将三角形与别的图形连接。
【例4】（2022江苏）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】4.图形特征是笔画数，第一行，图1是“日”字变形；第二行，图1是“田”字变形，图3是五角星+外框；第三行，图1和图2均是“日”字变形（外框+内部1笔画成），考虑笔画数，第一行，笔画数依次为1、1、2；第二行，笔画数依次为2、2、1，笔画数无规律，考虑平行线。第一行，平行线组数依次为1、2、3；第二行，平行线组数依次为1、2、3；第三行，平行线组数依次为1、2，故“？”处有3组平行线。
A项：有4组平行线，排除。
B项：有2组平行线，排除。
C项：有3组平行线，保留。
D项：不止有3组平行线，排除。【选C】
【注意】
1.图形特征：“日”字、“田”字变形——优先笔画数。
2.笔画数没规律——可以考虑平行线。
【2022江苏】
【2021浙江】
第一组图，图1是“日”字变形，图2有多端点，图3的三角形与其他图形用点连接，考虑笔画数，笔画数依次为1、3、1，无规律，考虑平行线。第一组图，均有2组平行线；第二组图，均有3组平行线。
【2024江苏】
每幅图均有出头端点，考虑笔画数，笔画数依次为1、1、2、2，无规律，考虑平行线。
有笔画数特征，但无规律——先看平行线、再数交点
线数量小结
1.线数量考点： 直线、曲线、笔画问题
2.什么时候数线
（1）直线数特征图：多边形、单一直线
（2）曲线数特征图：曲线图形（单一曲线、圆、弧）
3.笔画问题
（1）笔画数特征图：多端点、圆相切/相交、日、田、五角星
（2）一笔画条件：连通图+奇点数为0或2
（3）多笔画公式：奇点数÷2
考点三：点数量
1.什么是点？线与线的交点
注：切点也属于交点
2.什么时候数点？
点数量特征图：
（1）线条交叉明显（俗称“大树杈）
（2）多边形或圆中叉出一些线条
（3）圆相切或圆相交较多
点数量的特征图和笔画数的特征图很像，比如图1、图2能够想到端点，图3、图4能够想到多圆相交/相切，点数量的题目都比较难，正确率在50%左右，如果存在笔画数的特征（五角星、“日”“田”变形、多圆相交/相切、多端点），考虑笔画数，但是笔画数无规律，先看平行线、再数交点。
【例1】（2020山东）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】1.第一组图2、图3以及第二组图1都有出头端点，A项是三角形用点与其他图形连着，B项是五角星，可能考查笔画数，第一组图都是一笔画，第二组图的笔画数依次为2、1，笔画数无规律（不可能下一幅图是0笔画）；第一组图1没有平行线，平行线也无规律，考虑交点数。
第一组图的交点数依次为3、5、7，等差数列；第二组图的交点数依次为3、5，则“？”处图形应有7个交点。
A项：有5个交点，排除。
B项：有10个交点，排除。
C项：有7个交点，当选。
D项：有6个交点，排除。【选C】
【注意】多端点——笔画数、平行线、交点。
（2020山东）
（2020青海）
图1、图5是圆相交，考虑笔画数，题干图形的笔画数依次为1、1、2、2、1，笔画数没有规律；考虑平行线，图1没有直线，则没有平行线；考虑交点，题干图形的交点数量依次为1、2、3、4、5、6，则“？”处图形应有7个交点，选择C项。
点的细化考法
①切点：
图一
②框上/框内交点：
图二
③曲直交点：
图三
大部分图都有圆或椭圆或圆弧椭圆弧，可优先考虑点的细化
切点一般要有直线和曲线相切，至少要有曲线；曲直交点也要有曲线；目前省考、国考考查框上/框内交点一般都是考查圆，正方形考得非常少，因此大部分图都有圆或椭圆或圆弧、椭圆弧时，优先考虑点的细化。做题时优先考虑切点，因为有没有切点一眼就能看出来；如果切点没有规律，则关注有没有框，要考查框上/框内交点，一定会有框，都有框时考虑框上/框内交点（如图二，都有圆框，圆内交点数依次为0、1、2、3、4，“？”处应有5个框内交点），只要有1幅图没有框就考虑曲直交点（如图三，图1、图3有圆框，但图2没有圆作为框）。
【例2】（2024联考）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】2.每幅图都有曲有直，但不是每幅图都有圆作为框，无法考查框上/框内交点，考虑切点、曲直交点。图1将上方的横线延长，将半圆画出来，发现左上角是弧和直线的切点；图2将半圆补充完整，发现右侧是切点；图3补充成完整的椭圆，发现存在切点；题干每幅图都有1个切点。
A项：没有切点，排除。
B项：有2个切点，排除。
C项：有2个切点，排除。
D项：有1个切点，当选。【选D】
【注意】每个图都有曲有直——交点（切点、曲直交点）。
【例3】（2022天津）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥
B.①④⑤，②③⑥
C.①②⑥，③④⑤
D.①③⑥，②④⑤
【解析】3.每幅图都有圆，优先考虑切点，其次考虑框上/框内交点，最后考虑曲直交点。图①没有切点，则考虑圆上/圆内交点，图①圆上有3个交点，图②圆上有4个交点，图③圆上有4个交点，图④圆上有3个交点，图⑤圆上有3个交点，图⑥圆上有4个交点。
因此，图①④⑤为一组，都有3个圆上交点；图②③⑥为一组，都有4个圆上交点，选择B项。【选B】
【注意】每个图都有圆——交点（切点、框上/框内交点、曲直交点）。
【2018广州】框上交点
【2022天津】框上交点
【2019浙江】框内交点
【2018国家】框内交点
【注意】2018广州、2022天津都是考查圆上交点，2019浙江、2018国家都是考查圆内交点，对比区别，发现考查框上交点时圆的外边没有线，而考查框内交点时圆的外边有很多出头线条，这是刷题之后总结出来的经验，出头时优先考虑内部，没有规律时再考虑框上；没有出头时优先考虑框上，没有规律时再考虑框内。
【例4】（2023湖北）
把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥
B.①②⑤，③④⑥
C.①③④，②⑤⑥
D.①④⑤，②③⑥
【解析】4.每幅图都有曲有直，但图①没有圆、椭圆作为框，无法考查框上/框内交点，考虑切点、曲直交点；图①没有切点，则考虑曲直交点。
图①有6个曲直交点；图②有9个曲直交点；图③有6个曲直交点；图④有6个曲直交点；图⑤有9个曲直交点；图⑥有9个曲直交点。
因此，图①③④一组，均有6个曲直交点；图②⑤⑥一组，均有9个曲直交点，选择C项。【选C】
【注意】每个图都有曲有直——交点（切点、曲直交点）。
点数量小结
1.什么是点：
线与线的交点
2.点数量特征图：
线条交叉明显（一般有笔画特征）
3.点数量细化考法：
切点、框上/框内交点、曲直交点
考点四：素数量
1.什么是素？独立小图形
图一
2.出现小元素，做题思路？
（1）优先考虑元素种类和个数
（2）找相同元素
颜色不同，一般为两种
大小不同，一般为一种
图二
【注意】素数量：
1.什么是素：独立小图形。
2.出现小元素，做题思路：
（1）优先考虑元素种类和个数：个数就是有几个图形；长得一样的算1种，如图一，图1的2个星星是1种，图2的2个圆形是1种，总共有2种，图3的2个菱形是1种，总共有3种，元素种类和个数比较简单，考得很少。
（2）元素种类和个数选不出唯一答案，考虑找相同。
①内部找相同：比如图一中图1有2个长得一样的元素、图2有2个长得一样的元素、图3有2个长得一样的元素。
②相邻找相同：看图1和图2、图2和图3有没有相同的元素。
3.颜色不同，一般为两种，如图二，图（1）的黑色和白色看作两种元素；大小不同，一般为一种，图（2）的大圆和小圆看作一种元素。
【例1】（2023事业单位）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】
1.出现小元素，考虑元素的种类和个数，题干和选项都有6个图形，元素个数选不出答案；题干每幅图都有3种元素。
B项：有4种元素，排除。
A、C、D项：有3种元素，均保留。
元素的细化考虑找相同的元素，可以在内部找相同，也可以相邻找相同。如先看内部，图1有3个三角形、2个椭圆、1个平行四边形，图2有3个“L”形、2个三角形、1个圆形，题干每幅图的相同元素均为“3、2、1”分布，但无法排除选项；再相邻找相同，图1中3个的三角形到图2中变成2个，图2中3个的相同元素到图3中变成2个，图3中3个的相同元素到图4中变成2个，则图4中3个的相同元素（类似圆形）到“？”处应该变成2个，排除D项。
题干图形中3个的相同元素的位置是固定的，都是右上角、左下角、右下角，排除C项，选择A项。【选A】
【注意】
1.出现独立小元素——元素的种类和个数。
2.元素细化——找相同。
素的特殊考点：部分数
1.什么是部分数？连在一起就是一部分
2.什么时候考虑部分数？生活化、粗线条图形
【例2】（2021江苏）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】2.题干不好识别考点，选项更好识别，D项类似“螃蟹”，C项类似“闪电、充电的标志”，A项类似“信封”，图5的“M”是生活化图形，出现生活化图形、粗线条图形，考虑部分数。题干图形均为2部分，则“？”处图形应为2部分。
A项：有2个部分，保留。
B项：有1个部分，排除。
C、D项：有3个部分，均排除。【选A】
【注意】生活化、粗线条——数部分数。
生活化、粗线条图形常见考法：
1.属性（对称、开闭、曲直）
图一
2.部分数
图二
图三
【注意】生活化、粗线条图形常见考法：按照考频高低排序，可以按照顺序尝试。
1.属性（对称、开闭、曲直）：如图一，“5”不对称，均为全开放图形。
2.部分数：如图二，部分数依次为1、2、3、4、5。
3.面数量：如图三，面数量依次为3、4、5、6。
4.图三可以考查曲直，但图一、图二无法考查曲直，因为黑色部分的里面不算是线条，线条指的是细的，黑色图形一般不会考查曲直性。
5.答疑：以上可以考查对称，但对称性没有规律。
考点五：数量规律的复合考法
【例1】（2021四川下）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】1.每幅图都出现“窟窿”，可能考虑数面，题干图形的面数量依次为3、4、3、6、5，没有规律，面的细化（三角形面、相同面、最大/最小面）也没有规律。数面没有规律，但是出现重复的数字，一般情况下会考查面数量和外框复合，外框的边数量依次为3、4、3、6、5，规律为面数量=外框边数量。
A项：面数量为3，外框边数量为4，排除。
B项：面数量为4，外框边数量为7，排除。
C项：面数量为4，外框边数量为4，当选。
D项：面数量为3，外框边数量太多了，排除。 答疑：图3明显不对称，无法考查对称性。【选C】
【注意】 1.图形被分割、封闭面明显——面数量。
2.面数量有重复——面与外框复合。考试一般考查三角形到八边形，基本不 会考到九边形，3～8一共6个数字，题干一共6幅图，那么应该是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形，直接考查即可，不需要考查复合；一般都考不到八边形，基本考的都是三边形到六边形，一共4个数字，而题干一共6幅图，那么这4个数字一定会有重复，面数量有重复，就会结合外框考查。
面数量有重复——面与外框复合
【2021江苏】面=外框
题干图形的面数量依次为3、4、4、5、3，面数量出现重复，考虑面与外框边数量复合，外框边数量依次为3、4、4、5、3，面数量=外框边数量，选择A项。
【2024浙江】面=外框
题干图形的面数量依次为3、5、4、5、6，面数量出现重复，考虑面与外框复合，外框边数量依次为3、5、4、5、6，面数量=外框边数量，选择A项。
2021江苏的图1和2024浙江的图1存在特征，考查面数量与外框复合时，图1特别喜欢用三角形。
【例2】（2020国考）
从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】2.每幅图都有曲有直，考虑切点、曲直交点，图1没有切点，则考虑曲直交点；题干图形的曲直交点数依次为4、6、2……，没有规律。
每幅图都有曲有直，而且切点没有规律，考虑曲直交点、曲线、直线。曲直交点数依次为4、6、2、4、8；曲线数依次为2、3、1、2、4，规律为曲直交点数=2倍的曲线数，选项都是1条曲线，则找有2个曲直交点的选项。
A项：4个曲直交点，排除。
B项：4个曲直交点，排除。
C项：1个曲直交点，排除。
D项：2个曲直交点，当选。【选D】
【注意】
1.每个图都有曲有直——切点、曲直交点。
2.每个图都有曲有直且切点没规律——曲直交点、曲线、直线。
每个图都有曲有直且切点没规律——曲直交点、曲线、直线
【2023北京】直线-曲线=2、1、0。1、0、-1
【2020国考】曲直交点是曲线数的2倍
【注意】如2023北京和2020国考，每个图都有曲有直且切点没规律，则数曲直交点、曲线、直线，互相做运算。
1.2020国考：曲直交点是曲线数的2倍。
2.2023北京：直线和曲线做运算，第一组图中直线-曲线=2、1、0，第二组图中直线-曲线=1、0、-1，都是等差的。
元素组成相同——位置（平移、旋转、翻转）
元素组成相似——样式（加减同异、黑白运算）
元素组成不同——先属性（对称、曲直、开闭）
——后数量（点、线、角、面、素）
测验1.从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】测验1.每幅图都是长方形内部被分割，考虑数面，题干都是4个面，则“？”处图形应有4个面。
B项：有5个面，排除。
面的细化考虑三角形面、相同面、最大/最小面，题干全部都是三角形面，选择D项。【选D】
测验2.把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：
A.①②③，④⑤⑥
B.①④⑥，②③⑤
C.①②⑤，③④⑥
D.①②⑥，③④⑤
【解析】测验2.图①③⑥出现出头端点，图②内部类似五角星，考虑笔画数。
图①④⑥为一组，均为两笔画；图②③⑤为一组，均为一笔画，选择B项。【选B】
测验3.从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。
【解析】测验3.每幅图都有圆形，优先考虑切点，其次圆上/圆内交点，最后曲直交点。题干每幅图都有1个切点，则“？”处图形应有1个切点，选择C项。
A、B项：没有切点，均排除。
D项：有2个切点，排除。【选C】